10.2 Ortsflächen im R3

Die Verallgemeinerung von Ortslinien im R2 - die sich meist als algebraische Kurven beschreiben lassen - sind Ortsflächen im R3 (so lange man rein geometrisch konstruiert, handelt es sich hierbei um algebraische Flächen) oder Ortslinien im R3, sogenannte geometrische Kurven. Zunächst die Ortsflächen:

10.2.1 Verfolgung eines Punktes auf einer Ebene

Die einfachste Möglichkeit ist es, einen Punkt, der frei auf einer Ebene beweglich ist, verfolgen zu lassen. Als Beispiel bietet sich eine Verallgemeinerung der obigen Parabel an: Gegeben sei eine Ebene E1 (Leitebene) und ein Punkt P1 ( Brennpunkt). Gesucht ist die Menge der Punkte P_x, die den gleichen Abstand zu P1 wie zu E1 haben.

Dazu konstruiert man wie folgt:

• Konstruiere einen Punkt P5 auf E1
• Konstruiere die Mittelebene zwischen P5 und P1 (dazu: Beide Punkte markieren, Mittelpunkt zeichnen lassen, Gerade P1 P5 zeichnen, Ebene durch Mittelpunkt und Normale zeichnen lasen)
• Konstruiere die Normale g1 zu E1 durch P5
• Lasse den Schnittpunkt von g1 und E2 zeichnen, dieser hat die gesuchte Eigenschaft.

Nun kann man P5 (zuerst) und dann den gefundenen Schnittpunkt markieren. Der Schalter Ortsfläche wird auswählbar. Wenn man ihn drückt, erscheint nach kurzer Zeit ein Paraboloid:

Das Paraboloid ist dynamisch, d.h. wenn man einen der Basispunkte ändert, ändert sich das Paraboloid entsprechend.

10.2.2 Verfolgung eines Punktes in Abhängigkeit zweier Basispunkte auf Geraden, Strecken oder Kreisen

Um eine Fläche zu erhalten, muss die Ausgangsbewegung stets zweidimensional sein. Dies wird durch einen Punkt auf einer Ebene erreicht. Es können aber auch zwei Punkte verfolgt werden, die auf unterschiedlichen Geraden liegen. Dies ist hilfreich, wenn man z.B. die Menge der Punkte, die zu zwei gegebenen Geraden den gleichen Abstand haben, konstruieren möchte. Man erhält die Sattelfläche (hyperbolisches Paraboloid). Wer die Konstruktion nicht herausbekommt, möge in den Beispielordner schauen.

Allgemein: Markiert man einen Punkte auf einer Geraden, Strecke oder einem Kreis, einen weiteren Punkte auf einer anderen Geraden, Strecke oder Kreis und einen abhängigen Punkt, so erhält man nach Drücken des Ortsflächen-Buttons die möglichen Orte des abhängigen Punktes bei Bewegung der beiden ersten Punkte.

10.2.3 Verfolgung eines Kreises, einer Geraden oder einer Strecke in Abhängigkeit eines Punktes auf einer Geraden

Um drehsymmetrische Körper erzeugen zu können, ist es hilfreich, einen Kreis verfolgen zu können. Markiert man einen Punkt auf einer Geraden und einen Kreis, der von dem Punkt abhängt, so lässt sich wiederum eine Ortsfläche erzeugen.

Mit diesem Hilfsmittel kann man beispielsweise das zweischalige Hyperboloid erzeugen (zu sehen auf dem Startbildschirm).

Dieses konstruiert man anlog zur Konstruktion der Hyperbel im R2. Ferner lässt sich ein Ellipsoid konstruieren, man orientiere sich wie oben an der Konstruktion der Ellipse im R2.

Über die Verfolgung von Geraden lassen sich die sogenannten Regelflächen konstruieren (der englische Begriff „ruled Surface“ ist einsichtiger: von Geraden erzeugte Fläche).