Einer der entscheidenden Vorzüge von dynamischen Geometrieprogrammen gegenüber Geometrie mit Papier und Bleistift ist die Möglichkeit, Bewegungen von Punkten zu verfolgen. Diese Idee stammt zwar nicht erst aus dem Computerzeitalter - Ortslinien finden sich schon bei Gauß und anderen Mathematikern -, ermöglicht ihre Untersuchung aber auch für Schüler, Lehrer und andere normal begabte Menschen.
Man kann die Parabel - heute vor allem als Graph von f(x) = x2 bekannt - über ihre Brennpunkteigenschaft definieren: Eine Parabel ist die Menge aller Punkte Px, die zu einer Geraden l (Leitgerade) und zu einem Punkt P (Brennpunkt) den gleichen Abstand haben.
Man kann eine Parabel wie folgt als Ortslinie konstruieren:
Nun kann man - mit dem DGS seiner Wahl - die Parabel als Ortslinie zeichnen lassen. Bei Euklid z.B. durch Hauptleiste - Ortslinie aufzeichnen - Punkt wählen, der verfolgt werden soll (also den Schnittpunkt der Normalen mit der Mittelsenkrechten) - an Basispunkt ziehen: das ist bei uns Punkt X.
Die Verallgemeinerung von Ortslinien im R2 - die sich meist als algebraische Kurven beschreiben lassen - sind Ortsflächen im R3 (so lange man rein geometrisch konstruiert, handelt es sich hierbei um algebraische Flächen) oder Ortslinien im R3, sogenannte geometrische Kurven. Zunächst die Ortsflächen:
Die einfachste Möglichkeit ist es, einen Punkt, der frei auf einer Ebene beweglich ist, verfolgen zu lassen. Als Beispiel bietet sich eine Verallgemeinerung der obigen Parabel an: Gegeben sei eine Ebene E1 (Leitebene) und ein Punkt P1 ( Brennpunkt). Gesucht ist die Menge der Punkte Px, die den gleichen Abstand zu P1 wie zu E1 haben.
Dazu konstruiert man wie folgt:
Nun kann man P5 (zuerst) und dann den gefundenen Schnittpunkt markieren. Der Schalter Ortsfläche wird auswählbar. Wenn man ihn drückt, erscheint nach kurzer Zeit ein Paraboloid:
Das Paraboloid ist dynamisch, d.h. wenn man einen der Basispunkte ändert, ändert sich das Paraboloid entsprechend.
Um eine Fläche zu erhalten, muss die Ausgangsbewegung stets zweidimensional sein. Dies wird durch einen Punkt auf einer Ebene erreicht. Es können aber auch zwei Punkte verfolgt werden, die auf unterschiedlichen Geraden liegen. Dies ist hilfreich, wenn man z.B. die Menge der Punkte, die zu zwei gegebenen Geraden den gleichen Abstand haben, konstruieren möchte. Man erhält die Sattelfläche (hyperbolisches Paraboloid). Wer die Konstruktion nicht herausbekommt, möge in den Beispielordner schauen.
Allgemein: Markiert man einen Punkte auf einer Geraden, Strecke oder einem Kreis, einen weiteren Punkte auf einer anderen Geraden, Strecke oder Kreis und einen abhängigen Punkt, so erhält man nach Drücken des Ortsflächen-Buttons die möglichen Orte des abhängigen Punktes bei Bewegung der beiden ersten Punkte.
Um drehsymmetrische Körper erzeugen zu können, ist es hilfreich, einen Kreis verfolgen zu können. Markiert man einen Punkt auf einer Geraden und einen Kreis, der von dem Punkt abhängt, so lässt sich wiederum eine Ortsfläche erzeugen.
Mit diesem Hilfsmittel kann man beispielsweise das zweischalige Hyperboloid erzeugen (zu sehen auf dem Startbildschirm).
Dieses konstruiert man anlog zur Konstruktion der Hyperbel im R2. Ferner lässt sich ein Ellipsoid konstruieren, man orientiere sich wie oben an der Konstruktion der Ellipse im R2.
Über die Verfolgung von Geraden lassen sich die sogenannten Regelflächen konstruieren (der englische Begriff „ruled Surface“ ist einsichtiger: von Geraden erzeugte Fläche).
Vergleichbar mit der Verfolgung eines Punktes auf einer Ebene.
