18.2 Géométrie analytique

L’exercice suivant est tiré d’un manuel allemand

Soit E un plan et une famille de droites g_p telle que p .

1. Trouver une équation de la sphère de centre P(2|1|2) tangente à E. Déterminer les coordonnées du point de contact.
2. Montrer que pour tout p, g_p et E sont sécants.
3. Pour quelles valeurs de p, les droites sont-elles tangentes à la sphère ?

18.2.1 Solution avec Archimedes

1. • Construire le plan par ’Equations et repère > Plan > Forme générale’ et saisir x + 2y + 2z = 18.
   • Construire le point P par un double-clic-droit puis en ajustant ses coordonnées ou en utilisant la ligne de commande ’P=(2,1,2)’.
   • Construire la perpendiculaire L au plan E passant par P.
   • Mesurer la distance de P à L en utilisant un vecteur ou en utilisant la macro ’Distance - PointPoint’.
   • Construire la sphère de centre P passant par L.

   La sphère a pour équation ² = 3.

   

2. Evidemment, Archimède ne prouve pas ce résultat, mais permet de vérifier que l’équation trouvée semble valable.
   • Créer un paramètre ’Outils > Paramètre’, le nommer ’pp’ (car le nom P est déjà utilisé).
   • Gib die Geradengleichung unter "‘Typische Aufgaben - Gerade in Parameterform"’ mit dem Parameter pp so ein, wie sie in der Aufgabenstellung steht, ersetze dabei lediglich "‘p"’ durch "‘pp"’. Markiere dabei die Einstellungsbox "‘Ausdruck enthält Terme"’.
   • La droite suivra les modifications de valeurs du paramètre.
3. On peut trouver expérimentalement que le valeur cherchée du paramètre est 2.We can find out by trying that the solution for the parameter p is 2, or we could construct the line (as the parameter is not asked for) and find out the equation by right click - description.